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Cuadriláteros 10

Construir el cuadrilátero de la figura.

16enero2016datos

 

Analizando la figura de datos vemos una  serie de circunstancias:

1º Que desde B y A se observa el segmento CD bajo el mismo ángulo, lo que implica que A, B, C y D están en una misma circunferencia. A la misma conclusión se llega al observar que desde C y B se aprecian los  segmentos AB y AC bajo el mismo ángulo. Diremos entonces que las rectas BC y AD son antiparalelas respecto BD y AC, y que los cuatro puntos son concíclicos(situados en una misma circunferencia).

2º Como por el enunciado  M es el punto medio de BC, siendo BC una cuerda de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero implica que el segmento AM (perpendicular a BC) y pasa por el centro de la circunferencia citada.

3º Observando el triángulo BCD vemos que MN es la paralela media de BD, midiendo la mitad de dicho segmento, luego BD es 2x50=100. Esto implica también que en el triángulo ABC, al ser M punto medio de BC, la perpendicular, MX, a AC trazada por M mide 39 mm, que es la mitad de los 78 mm de la distancia BY.   

 

16enero2016analisis

 

Solución. Analizando la figura de datos vemos una  serie de circunstancias:

1º Que desde B y A se observa el segmento CD bajo el mismo ángulo, lo que implica que A, B, C y D están en una misma circunferencia. A la misma conclusión se llega al observar que desde C y B se aprecian los  segmentos AB y AC bajo el mismo ángulo. Diremos entonces que las rectas BC y AD son antiparalelas respecto BD y AC, y que los cuatro puntos son concíclicos (situados en una misma circunferencia).

2º Como por el enunciado  M es el punto medio de BC, siendo BC una cuerda de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero se infiere que el segmento AM (perpendicular a BC) y pasa por el centro de la circunferencia citada.

3º Observando el triángulo BCD vemos que MN es la paralela media a BD, midiendo la mitad de dicho segmento, luego BD es 2x50=100. Esto implica también que en el triángulo ABC, al ser M punto medio de BC, la perpendicular, MX, a AC trazada por M mide 39 mm, que es la mitad de los 78 mm de la distancia BY. 

De todo lo anterior deducimos el proceso a seguir, que consiste en dibujar un segmento vertical XM de 39 milímetros. Por X dibujamos una semirrecta horizontal hacia la izquierda que corta al arco de centro en M y radio 60 en el punto A.

La perpendicular a AM trazada por M determina la recta en la que se encontrará B, como corte de dicha perpendicular con la paralela a XA separada de la misma 78 milímetros. Hallamos el simétrico de B respecto M, obteniendo C. Dibujamos la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, que cortará al arco de centro en B y radio 100 mm en el punto D, quedando así determinado el cuadrilátero buscado.

16enero2016ejecucion

 

 

Lugares geométricos. Aplicaciones

Lugares geométricos.

La teoría de los lugares geométricos es una herramienta importante para la resolución de los problemas geométricos.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que gozan de una propiedad común. Así la mediatriz de unh segmento es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los  estremos del segmento son iguales; una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante; tambien es el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a una circunferencia de radio la medida del eje mayor y centro en el otro foco, también es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un foco y a una recta llamada directriz es constante e igual a la excentricidad. 

Esson son pues algunos ejemplos pero existe una infinidad de casos en los que el tema es determinar  conjuntos de puntos que tiene ciertas propiedades.

Pero en muchas ocasiones se buscará el cumplimiento simultaneo de dos condiciones: cada una representada por un lugar geométrico. Por tanto, los puntos de intersección de ambos lugares geométricos serán los que cumplan simultáneamente ambas condiciones.

Desarrollamos en el siguiente vídeo el método de razonamiento para la obtención, justificación  y definicíón de lugares geométricos.

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Problema de elipse conocido eje mayor y tangente

Enunciado. Hallar los puntos de intersección de una recta R con una elipse, conocido su eje mayor AA` y una tangente.

Problema elipse eje mayor y tangente

 

Solución. Nos basamos en la afinidad ortogonal que existe entre una elipse de ejes AA´ y BB´ y la circunferencia de diámetro AA`, siendo el eje de afinidad la recta AA` y la pareja de puntos afines el B y el b. Figura 1.

Una tangente a la elipse corta al eje de afinidad en un punto 1, siendo el punto y el afín del Y de tangencia con la misma.

En la figura 2 planteamos un caso en el que se pide hallar la intersección de una recta r con una elipse de eje AA`, siendo t una recta tangente a la cónica.

Dibujamos una circunferencia de diámetro AA´, que es el eje de la afinidad anteriormente citada. La tangente aportada t corta al eje de afinidad en el punto 1, desde el que trazamos la  tangente a la circunferencia anterior. El punto de tangencia T con ésta tiene por afín al punto T` situado en la intersección de t  con la perpendicular a AA` trazada desde T. Tenemos por tanto una pareja de puntos afines que son T y T` .

Hallamos a continuación la recta afín de r, para lo cual trazamos por T` una paralela al eje AA` la cual corta a la recta r en x. Sabemos que una paralela al eje de afinidad tiene por afín a otra paralela a dicho eje. El afín X del punto x está en el corte de la paralela a AA` trazada por T con la perpendicular a AA` trazada por x. La recta r corta al eje de afinidad en el punto doble 2 que unido con X determina la recta R afín de r. La recta obtenida  R corta a la circunferencia en dos puntos M y N,  cuyos afines m y n son los de intersección de r con la elipse, sin necesidad de su trazado.    

   

 

elipse eje mayor y tangente

 

Problema de cuadrilátero de perímetro máximo

Enunciado. Cuadrilátero inscribible conocidos los lados a y b y el ángulo formado por ellos que es de 120º. Solución de máximo perímetro.

Cuadriltero perimetro max datos N

Solución. Sabemos que al ser inscribible se cumple que la suma de los ángulos opuestos es de 180º, por lo que el ángulo en el vértice, Q, opuesto al N será de 60º. Figura 1.

Podemos dibujar los lados a y b a 120º y unir los extremos M y P mediante la diagonal D. Según lo anterior el vértice Q estará en el arco capaz de 60º de la diagonal trazada D. Como los lados a y b son fijos, el máximo perímetro se producirá cuando la suma de los lados restantes c y d sea máxima. Suponiendo una posición genérica del vértice Q en el arco capaz trazado, vemos que un arco de centro Q y radio QM corta a la prolongación de PQ en el punto R. Según lo antes expresado, el máximo perímetro será cuando la suma de los lados PQ y QR sea máxima, es decir cuando PR sea máximo. Observamos que se ha formado un triángulo isósceles, PMR, en el que los ángulos en M y en R son de 30º, al ser el ángulo en Q de 120º, suplementario de los 60º. Luego MP será visto desde R bajo 30º, estando entonces R en el arco capaz de 30º de MP.

 

cuadrilatero perimetro maximo

 

 

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Rectas horizontales en diédrica

Enunciado. El punto A(0,-Z,Z) es la intersección de dos rectas horizontales con el segundo bisector. Se sabe que los segmentos definidos por el citado punto A y las intersecciones de estas rectas con el primer bisector miden 120 mm. Se pide representar ambas rectas. 

Explicación. Las proyecciones verticales, r`y s, de las rectas son paralelas a la línea de tierra, coincidentes y pasando por a`. Los puntos C y D de intersección de ambas rectas con el primer bisector tienen a sus proyecciones horizontales b y c distando de la proyección "a" 120 mm, por lo que se encuentran en un arco de centro "a" y radio 120. Esto es debido a que las horizontales están en verdadera magnitud en proyección horizontal. Como todos los puntos de estas rectas tienen cota Z, será este valor el del alejamiento de los puntos C y D. Por tanto los cortes, del arco anterior con la horizontal separada Z mm de la línea de tierra, serán las proyecciones horizontales, c y d, de los puntos C y D. En definitiva r-r` y s-s`son las proyecciones de las rectas buscadas. 

 

segmento de recta horizontal

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