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InicioEjerciciosProblema de cuadrilátero de perímetro máximo

Problema de cuadrilátero de perímetro máximo

Enunciado. Cuadrilátero inscribible conocidos los lados a y b y el ángulo formado por ellos que es de 120º. Solución de máximo perímetro.

Cuadriltero perimetro max datos N

Solución. Sabemos que al ser inscribible se cumple que la suma de los ángulos opuestos es de 180º, por lo que el ángulo en el vértice, Q, opuesto al N será de 60º. Figura 1.

Podemos dibujar los lados a y b a 120º y unir los extremos M y P mediante la diagonal D. Según lo anterior el vértice Q estará en el arco capaz de 60º de la diagonal trazada D. Como los lados a y b son fijos, el máximo perímetro se producirá cuando la suma de los lados restantes c y d sea máxima. Suponiendo una posición genérica del vértice Q en el arco capaz trazado, vemos que un arco de centro Q y radio QM corta a la prolongación de PQ en el punto R. Según lo antes expresado, el máximo perímetro será cuando la suma de los lados PQ y QR sea máxima, es decir cuando PR sea máximo. Observamos que se ha formado un triángulo isósceles, PMR, en el que los ángulos en M y en R son de 30º, al ser el ángulo en Q de 120º, suplementario de los 60º. Luego MP será visto desde R bajo 30º, estando entonces R en el arco capaz de 30º de MP.

 

cuadrilatero perimetro maximo

 

 

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