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Esfera circunscrita a un tetraedro irregular

Enunciado. Dado el tetraedro irregular (pirámide) de vértices A,B,C y D hallar las proyecciones de la esfera circunscrita que contiene a todos sus vértices.

Esfera circunscrita a tetraedro regular datos

 Proceso. La esfera circunscrita tiene su centro en el punto que equidista de todos los vértices de la pirámide, es decir, en el punto de corte de los planos perpendiculares a los lados, trazados por sus respectivos puntos medios.

Los lados de la base se encuentran en el plano horizontal de proyección, por lo que los planos perpendiculares son proyectantes, siendo la intersección de los mismos una recta vertical que pasa por el circuncentro (punto o de corte de mediatrices) del triángulo bcd. Para continuar podríamos trazar un plano perpendicular por el punto medio de cualquier arista, y obtener el punto de intersección de dicho plano con la recta vertical antes citada.

Pero también se podría abatir la cara ABD y obtener el circuncentro (x) de la misma en dicho abatimiento, el cual se desabatiría  según x-x`. Este punto es el centro de la circunferencia que contiene a los vértices A, B y D y que es la sección que el plano de dicha cara produce en la esfera buscada, siendo el centro de la esfera el punto que se encuentra en la perpendicular a su plano desde  x-x`. La proyección vertical de la perpendicular a la cara ABD los es a la correspondiente proyección, 1è`, de una frontal de de dicha cara.

El corte de la perpendicular descrita con la vertical inicialmente trazada por el punto o es la proyección o` del centro de la esfera pedida. Para sacar el radio de dicha esfera hallamos la verdadera magnitud del segmento definido por o-o` y cualquier vértice de la pirámide, como por ejemplo el c-c`. Un giro del segmento OC hasta posicionarlo frontal determina el radio de la esfera. Las proyecciones de la esfera son dos circunferencias de centros en o y o ´ y radio iguales al valor obtenido.

 

diedrico esfera circunscrita a piramide

 

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