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Problema de elipse conocido eje mayor y tangente

Enunciado. Hallar los puntos de intersección de una recta R con una elipse, conocido su eje mayor AA` y una tangente.

Problema elipse eje mayor y tangente

 

Solución. Nos basamos en la afinidad ortogonal que existe entre una elipse de ejes AA´ y BB´ y la circunferencia de diámetro AA`, siendo el eje de afinidad la recta AA` y la pareja de puntos afines el B y el b. Figura 1.

Una tangente a la elipse corta al eje de afinidad en un punto 1, siendo el punto y el afín del Y de tangencia con la misma.

En la figura 2 planteamos un caso en el que se pide hallar la intersección de una recta r con una elipse de eje AA`, siendo t una recta tangente a la cónica.

Dibujamos una circunferencia de diámetro AA´, que es el eje de la afinidad anteriormente citada. La tangente aportada t corta al eje de afinidad en el punto 1, desde el que trazamos la  tangente a la circunferencia anterior. El punto de tangencia T con ésta tiene por afín al punto T` situado en la intersección de t  con la perpendicular a AA` trazada desde T. Tenemos por tanto una pareja de puntos afines que son T y T` .

Hallamos a continuación la recta afín de r, para lo cual trazamos por T` una paralela al eje AA` la cual corta a la recta r en x. Sabemos que una paralela al eje de afinidad tiene por afín a otra paralela a dicho eje. El afín X del punto x está en el corte de la paralela a AA` trazada por T con la perpendicular a AA` trazada por x. La recta r corta al eje de afinidad en el punto doble 2 que unido con X determina la recta R afín de r. La recta obtenida  R corta a la circunferencia en dos puntos M y N,  cuyos afines m y n son los de intersección de r con la elipse, sin necesidad de su trazado.    

   

 

elipse eje mayor y tangente

 

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