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Ejercicio de semejanza 1

Enunciado. Dado un hexágono regular, dibujar otros dos concéntricos con él de modo que la superficie del espacio comprendido entre el menor y el intermedio sea 1,5 veces la del de menor tamaño, cumpliéndose también que la superficie comprendida entre el intermedio y el aportado por el enunciado, de mayor tamaño, sea el doble que la del central más interior.

problema semejanza 1

Proceso. Se parte de un polígono (el mayor de la figura). La superficie total expresada en las unidades de superficie del interior (el menor) será S + 1,5xS + 2xS = Sx( 1+1,5+2) = 4,5xS.

Sabemos, por tanto, que la superficie del mayor es 4,5 veces la del menor. También sabemos que la razón de las áreas de dos figuras semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza, por tanto la razón de semejanza entre ambos será la raíz de 4,5.

El área del hexágono intermedio será S+15xS = Sx(1+1,5) = 2,5x S. Luego la relación de las áreas entre el intermedio completo y el central es 2,5 lo que implica que la razón de semejanza entre ambos es la raiz de 2,5.

Hemos hallado gráficamente, en la parte derecha de la figura, las raices cuadradas de los valores 4,5 y 2,5 (que son los segmentos bd y bh) aplicando el teorema de la altura. Para lo cual ponemos la medida del segmento cuya raiz cuadrada queremos hallar, y lo ampliamos en un centímetro, siempre que las medidas de los segmentos se hayan expresado en centímetros. Dibujamos la semicircunferencia de diámetro la suma de ambas medidas (el segmento más 1 cm) y la semicuerda perpendicular al segmento inicial, trazada por el extremo común a los segmentos dibujados, determina un segmento, cuya medida en centímetros, representa la raiz cuadrada del valor en cuestión. 

Se trata ahora de hallar el polígono menor, para ello tenemos que dividir cualquier elemento lineal del aportado (la semidiagonal por ejemplo) por la raiz de 4,5, es decir por bd. Para ello llevamos en una semidiagonal las medidas de bd y bc (siendo bc = 1cm) Trazando por c la paralela a dA` obtenemos A y con él, por paralelas, el hexágono interior de menor tamaño.

Para hallar el polígono intermedio vemos que su superficie es 2,5 veces mayor que la del de inferior tamaño que acabamos de hallar, por lo que multiplicaremos cualquier elemento lineal del pequeño por la raiz de 2,5. 

En la figura llevamos bg = 1centímetro y bh = raiz de 2,5 y trazamos por h una paralela a Bg, obteniendo B`` que es un vértice del hexágono intermedio, que se completa igualmente por paralelas al exterior dado. 

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Perspectiva caballera ejercicio 1

Perspectiva caballera, ejercicio 1. Dibujar la caballera de la pieza definida por sus proyecciones diédricas.

 c1

Partimos de la planta y el alzado de una pieza y vemos dos formas claramente diferenciadas, separadas por una línea quebrada.

El triángulo del alzado marca la forma del plano inclinado.

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Perspectiva caballera ejercicio 3

Perspectiva caballera, ejercicio 3. Se aportan las vistas de una pieza cuya perspectiva queremos realizar.

c3

La línea vertical del alzado se corresponde únicamente con un punto en la planta lo que hace que esa línea vertical esté en la cara posterior de la pieza. Vemos igualmente que los dos triángulos de la planta están esn la cara superior de la pieza. 

Por otra parte el hecho de que tanto en planta como en alzado existan dos pentágonos hace pensar que esa forma se sitúa en un plano inclinado definido por la arista horizontal inferior delantera y el vértice inferior del segmento vertical.

 

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Perspectiva caballera ejercicio 4

Perspectiva caballera, ejercicio 4.

c4

Vemos que la forma de mayor tamaño de la planta está en la cara superior horizontal. marcamos los triángulos situados en planos verticales y de perfil localizando los vértices de los mismos en las vistas del cuerpo.

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Aplicaciones básicas de resolución de casos de tangencias

Vídeos de aplicaciones básicas de tangencias.

En los cuatro vídeos que siguen se explican unos casos básicos de enlaces y tangencias para entrar en la filosofía de resolución de este tipo de problemas.

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Resolución de casos de tangencias

 1- Dada una circunferencia y una recta tangente a la misma, hallar las circunferencias de radio conocido tangentes a la recta y a la circunferencia.

2- Resolver el caso anterior pero siendo la recta dada secante a la circunferencia.

3- Dada una circunferencia, una recta exterior y un punto hallar, la circunferencia que pase por el punto dado que, además, sea tangente a la circunferencia aportada y que tenga su centro en la recta dada.

4- Dadas dos circunferencias de radios iguales y tangentes entre si y una recta exterior a ambas paralela a la recta de centros, hallar la circunferencia de menor tamaño tangente a los tres elementos dados.

5- Dadas dos rectas paralelas y un punto fijo en cada una de ellas hallar las cincunferencias tangentes a las rectas en los puntos dados y tangentes entre sí con curvaturas contrarias.

6- Dadas dos circunferencias hallar la tangente a  ambas conocido su radio.

7- Dados dos puntos y una circunferencia, hallar la circunferencia que pase por los puntos dados de modo que sea tangente a la circunferencia dada.

8- Idem que el caso anterior pero estando los puntos en una circunferencia concéntrica con la dada.

9- Dadas dos rectas y un punto de su ángulo hallar la circunferencia que pase por el punto y sea tangente a ambas rectas.

10- Dadas dos rectas y una circunferencia de su ángulo hallar la circunferencia tangente a los tres elementos

Los alumnos inscritos en el curso de dibujo por internet pueden acceder a la explicación de la resolución de estos casos.

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