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Problema de inversión

 Enunciado. Hallar la figura inversa de la aportada, constituida por tres arcos de circunferencia de radios iguales en una inversión en la que el inverso del segmento AB es el arco de circunferencia A`B` dibujado con trazo discontinuo.

Solución. Inicialmente observamos que el arco A`B` pertenece a una circunferencia que contiene al punto C, que es el de corte de las rectas A`A y B`B, por lo que dicho punto hará las veces de centro de inversión. Por otra parte, para hallar la circunferencia de puntos dobles, cpd, dibujamos una auxiliar que pase por A y A`, siendo la tangente a la misma trazada desde C la que determina el radio de la cpd, que representa la raíz cuadrada de la potencia de inversión.

inversion

Como el arco AB tiene por centro al punto C el inverso de dicho arco será concéntrico con él y pasando por A` y B`.

Como los arcos AC y BC pasan por el centro de inversión sus inversos serán segmentos de recta que pasarán, en cada caso, por A` y por B` y, además, cada uno pasará por el punto de corte de la circunferencia que lo contiene con la circunferencia de puntos dobles, cpd. Los inversos de estos arcos se abren hacia el infinito desde A` y B` ya que el inverso de C se encuentra en dicha posición. 

 

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Explicación de ejercicios de acceso a la universidad 1-2

 Explicación de ejercicios de selectividad 1-2

ENUNCIADOS. Los alumnos inscritos en nuestro curso pueden acceder a las explicaciones de resolución de los problemas planteados que están inspirados en las convocatorias de examen de selectividad.

sel 1

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Explicación de ejercicios de acceso a la universidad 3-4

 Explicación de ejercicios de acceso a la universidad 3-4

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EJERCICIOS 3

La recta inclinada es la tangente en el  extremo  inferior de la misma que es el punto de lanzamiento de un proyectil con trayectoria parabólica de eje e dado( recta vertical). Hallar el foco y el punto mas alto de la citada trayectoria.

Mínima distancia entre una recta vertical y una genérica.

Proyección vertical de una recta frontal de alejamiento dado tangente a la semiesfera dada. La frontal fomará 45º con el horizontal

  De un triángulo se conoce la proyección vertical a`de un vértice del plano vertical, se conoce también la proyección horizontal c de otro vértice del horizontal y la proyección vertical del tercer vértice de la línea de tierra. Hallar la verdadera magnitud y las proyecciones del ortocentro. 

Con los datos del caso anterior hallar el punto del vertical que equidista de los puntos dados.

Se aporta un triángulo ABC A(0,1,4) B(4,4,4) C(4,1,0) y un punto P(1,3,0). Hallar la distancia de P al plano del triángulo.

Con los datos anteriores, trazar la perpendicular al plano del triángulo y analizar la visibilidad de la recta.

Dado un  semicírculo inscribir en él  un rectángulo aúreo de área máxima.

Dado un  semicírculo inscribir en él  un cuadrado de área máxima

Dado un triángulo escaleno inscribir tres circunferencias iguales y tangentes entre si.

Axonométrica isométrica. Un triángulo ABC situado en el xoy con AB paralelo al eje X y distante de él 4 cm, estando A en el eje Y tiene su tercer vértice C en el eje X, es base de un prisma recto de 3 cm de altura. Hallar las trazas del plano que lo secciona según un trapecio de base mayor AB y base menor 3 cm.

Dadas dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. Hallar los puntos desde los que al trazar tangentes a la mayor produzca un segmento de 6 cm y respecto a la menor uno de 5 cm.

Un segmento dado paralelo a  la línea de tierra de 4 cm de longitud y 1 cm de cota y 3 de alejamiento es lado de triángulo equilátero situado en un plano paralelo al segundo bisector. Representarlo y hallar el punto de un plano de proyección que equidiste de los vértices del triángulo y que esté lo más próximo posible a los mismos.

Con los datos del caso anterior hallar el punto que equidiste de los tres vértices del triángulo cuya suma de distancia a los mismos sea 10 cm.

Conocidas dos tangentes t y t`a una parábola, concurrentes en un punto O, y los puntos de tangencia T y T`  sabemos que la recta definida por O y el punto medio M del segmento TT` es la dirección del eje. El punto medio, X, de OM pertenece a la parábola y la paralela a TT` trazada por X es la tangente en X a la cónica en cuestión.

Si por T y por T`  trazamos las paralelas p y p` a la dirección del eje OM, vemos que p forma con t un cierto ángulo, siendo la simétrica de p respecto a t una recta que contiene al foco F de la parábola. Igual ocurre con la simétrica de p` respecto a t`. El corte de ambas simétricas es el foco buscado. Llevando la medida TF a partir de T en la recta p tenemos un punto K de la directriz, siendo la perpendicular a p trazada desde K la citada directriz.

Aplicando la propiedad anterior  a las otras dos cónicas podemos enunciar que “si las tangentes t y t` que se conocen con sus puntos de tangencia T y T` fueran de una elipse o hipérbola se cumple que la recta OM contiene al centro de cada cónica, siendo O el punto de corte de las tangentes y M el punto medio del segmento TT`.

Si ahora lo aplicamos  a una parábola de la que se conocen su vértice V y dos puntos A y B, simétricos respecto al eje, vemos que si M es el punto medio de AB podemos llevar la medida VM sobre la prolongación del eje VM. Obtenemos así un punto O, que es  donde concurren las tangentes tA y tB trazadas en los puntos A y en B, por lo que OA y OB son las citadas tangentes. Por A trazamos una paralela al eje  pA.La simétrica de la paralela al eje pA  respecto a tA corta al eje en el foco.

Triángulo conocias las alturas.

Triángulo conocidas las medianas.

Dado un punto O y una recta r-r` en diédrica hallar el punto de la recta que distas 3 cm de O.

Trazar por el punto del caso anterior una recta que forme 60º con r-r` cortándola

Trazar el plano que forme 60 º con el horizontal y contenga a una recta horizontal r-r`

Idem que contenga a una frontal s-s`.

Trazar la rectas que pasando por el punto a-a` pertenezcan al plano P-P` y formen 30º con el horizontal.

Idem que formen 30º con  la traza P`.

Dada una esfera tangente al horizontal y de radio 3 cm, con su centro distante 4 cm del vertical, hallar los puntos de su superficie que disten 4 cm del punto de tangencia de la esfera con el horizontal.

Trapecio ABCD de altura h= 30 mm AC= 50; BD = 45 mm siendo CD = DA

De una hipérbola se conocen sus focos y un punto P hallar ejes, asíntotas.

Dadas dos rectas paralelas y un punto P situado a la derecha de ambas trazar por P las secantes en las que la parte comprendida entre las rectas sea de 30 mm. Las rectas distan 22 mm entre sí

EJERCICIOS 4

Un tronco de cono de base mayor de 6 cm de diámetro y base menor 3 cm, altura 3 cm es cortado por una recta paralela a la línea de tierra que dista del eje del cono 1 cm y 5 cm del vértice del cono. Hallar la intersección con el tronco de cono.

Con los datos anteriores del tronco de cono se conoce la proyección horizontal de una paralela  a la línea de tierra distante 2.5 cm del eje del cono: Hallar la proyección vertical de dicha recta si es tangente al cono en uno de sus puntos.

Una esfera de centro O( 0,4,4) radio 3 cm es tangente a una recta paralela a la línea de tierra cuya proyección horizontal dista 2 cm de la proyección horizontal del centro. Hallar la proyección vertical de la recta.

Se da un cilindro oblicuo de generatrices frontales a 60º con el horizontal. Las bases paralelas horizontales tienen de radio 3 cm. Una recta paralela a la línea de tierra corta al cilindro en dos puntos que deseamos determinar. La recta tiene 1 cm de cota y un alejamiento 1 cm mayor que el alejamiento del del eje frontal del cilindro.

De una hipérbola se conoce una asíntota, una tangente y un foco. Hallar los elementos que la definen.

De una parábola se conoce el eje de simetría el vértice V y un  punto. Hallar el foco la directris y la tangente en el punto dado.

De una parábola se conocen dos puntos y el foco hallar el véttice y la directriz.

Hallar la medida del diámetro que forme 30º con el eje mayor de una elipse de ejes 6 y 4 cm

Dada una hipérbola de ejes real 3 e imaginario 4 cm. Hallar los diámetros conjugados MN y PQ, sabiendo que MN forma 30º con el eje real.

De una elipse se conoce el eje mayor AB= 6 cm y un punto C que dista 3 cm de A y 5 cm de B. Hallar el eje menor y los focos.

De una elipse se conoce el eje mayor AB = 5 cm y una tangente que forma 30º con AB y dista del centro O 4 cm. Hallar el eje menor y los focos.

De una elipse se conoce el eje menor CD = 3 cm y una tangente que forma 30º con el mayor y dista del centro 4 cm. Hallar el eje mayor y los focos.

Hallar el homólogo de un triángulo equilátero ABC en una homología en que AB está en el eje y C en la recta límite. El centro de homología está en la prolongación de la altura hC y distando de RL 2 cm. La distancia entre eje y RL = 3 cm. Hallar el homólogo del ortocentro del triángulo.

De un triángulo se conocen sus exincentros. Hallar el triángulo.

Tres rectas concurrentes en O son bisectrices de un triángulo. Representarlo si un punto P dado pertenece a un lado.

Se conocen tres puntos que son los pies de las medianas de un triángulo. Dibujarlo.

 Se conocen tres puntos que son los pies de las alturas de un triángulo. Dibujarlo.

 

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Ejercicios de intersecciones en sistema diédrico directo

 Ejercicios de intersección de  planos en diédrico directo.

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Ejercicios de paralelismo en sistema diédrico directo

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