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Giro de pirámide en diédrica

 Enunciado. Dada una pirámide de base hexagonal regular, girarla alrededor de un eje horizontal perpendicular a la arista AV hasta que dicha arista se sitúe en el horizontal de proyección. Datos:


 DATOS GIRO PIRAMIDE

Proceso. Dibujamos un eje de giro horizontal y perpendicular a la proyección horizontal de av.

Tomamos una nueva línea de tierra perpendicular al eje anterior.

Proyectamos la pirámide sobre el nuevo vertical definido por la línea de tierra elegida.

Giramos en la nueva proyección la arista AV hasta situarla en la nueva línea de tierra según A`V`.

 

GIRO PIRAMIDE

 Giramos el resto de vértices el mismo ángulo que el que hizo que V se situara en el horizontal, obtenemos así los puntos B`, C`, D, E` y F`.

La proyección horizontal de estos puntos se obtiene refiriendo desde la proyección vertical que se acaba de obtener sobre perpendiculares al eje trazadas por las correspondientes proyecciones: a, b, c, d, e y f. Se obtienen así A, B, C, D, E Y F.

Para la proyección vertical respecto a la línea de tierra original se lleva la cota nueva de cada punto a partir de la línea de tierra de partida.  

 

 

 

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Giro de prisma

 Giro prisma

 

Proceso.  Tomamos una nueva línea de tierra perpendicular al eje de giro. Giramos el lado ad hasta ponerlo a 45º y obtenemos d-agPonemos la altura H y sacamos la nueva proyección vertical del cuerpo.

 Referimos sobre el horizontal sacando los puntos A g, Bg Cg y Dg.

La distancia de las nuevas proyecciones verticales A`g, B`g C`g y D`g.de estos puntos a la línea de tierra nueva nos aportan las cotas de los mismos, gracias a las cuales podemos hallar la proyección vertical del cuerpo en la representación inicial de la diédrica de partida

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Figuras inversas

 Enunciado. Hallar la figura inversa de la aportada, en una inversión de centro “o” y pareja de puntos inversos A y A`.

inv dat

 Ayuda. Lo primero que se aprecia es que la razón de inversión es negativa al estar la pareja de puntos inversos a distinto lado respecto al centro “o”. Estos casos se pueden resolver suponiendo que el inverso de “A” es el simétrico de A`  respecto al centro “o”, hallando la figura inversa y, finalmente, hallando la simétrica de la figura obtenida respecto “o”. También se podría hallar la simétrica de la figura a transformar respecto al centro “o” y resolver el caso de inversión para sacar así la figura pedida. Nosotros realizaremos en la figura esta segunda opción, aunque el resultado sería el mismo que si se empleara el otro sistema.

En la primera figura de realización hemos hallado la “CPD” de autoinversión o de puntos dobles, obteniendo inicialmente la simétrica de la figura original respecto al centro de inversión “o”, siendo el punto ”a” el simétrico de “A” respecto “o”, de modo que en la nueva inversión vamos a obtener la transformada de la figura simétrica tomando como pareja de puntos inversos el a y el A`. La circunferencia de puntos dobles (CPD) se obtiene tomando una semicircunferencia de diámetro o-A`. El radio es el segmento “ox”, habiéndose sacado “x” como extremo de la semicuerda perpendicular al diámetro o-A`.

inv

 

Como se puede apreciar hemos descompuesto la figura dada en elementos, y aplicado a cada uno la propiedad que lo transforma por inversión. Así en la figura de la derecha la semicircunferencia 1 que pasa por “o” tiene por inversa a una recta perpendicular al diámetro que contiene a dicho punto y que pasa por el inverso b` del extremo b del mismo. Como la semicircunferencia original pasa por el centro de inversión la figura transformada pasará por el infinito por eso los tramos inversos 1` se abren hacia dicho punto impropio. Los segmentos 2 y 4 tienen por inversos a sendos arcos 2` y 4` que pasan por el centro de inversión y por los puntos dobles de corte de dichos segmentos con la CPD. Por último la semicircunferencia que contiene al punto “a” no pasa por el centro de inversión por lo que su inversa es otro arco de circunferencia que pasa por el inverso A` de a y por los puntos dobles de corte de dicha semicircunferencia con la circunferencia CPD de auntoinvesión. 

 

 

 

 

 

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Problema pirámide en diédrica

 Enunciado. Partimos de las proyecciones diédricas de una pirámide siendo sus vértices los puntos A, B, C y D. Se trata de dibujar un triángulo que tenga un vértice en el ortocentro

de la cara ACD, otro  coincidente con el incentro de la cara ABC y el tercero en el baricentro de ABD.

diedrico piramide datos

 Solución. Para determinar tanto el ortocentro como el incentro de triángulos situados en plano inclinados se hace preciso el abatimiento de dichos triángulos para obtener los puntos en cuestión en dicho abatimiento, dado que sólo se conserva en diédrica el baricentro de cualquier triángulo, como el punto 3 de la cara ABD debido a que las magnitudes relativas se conservan en diédrica. Recuérdese que las medianas son segmentos definidos por un vértice y el punto medio del lado opuesto (magnitud relativa del mismo). Según lo anterior el punto 3 se obtiene como corte de las medianas de los lados de cada proyección dibujadas directamente sin necesidad, por tanto, de abatir la citada cara ABD. Según lo anteriormente indicado  abatimos primeramente la cara ACD, tomando como eje de abatimiento el lado horizontal CD. Para lo cual dibujamos una paralela y una perpendicular a la proyección horizontal de dicho lado. En la paralela llevamos la cota, H, del punto A, obteniendo el punto h. Trazamos un arco de centro o y radio oh, el cual corta a la perpendicular anterior en el punto A1. El triángulo de vértices A1, c y d es la verdadera magnitud de la cara citada. Repetimos el proceso abatiendo la cara ABC, para obtener igualmente su verdadera magnitud según el triángulo A2 b c. 

diedrico piramide solucion

 En la figura de la derecha se han copiado los resultados anteriormente obtenidos y hallamos el ortocentro, (1), (punto de corte de las alturas) del triángulo A1dc, el cual se desabate dibujando la paralela al lado dc por (1), esta paralela corta al lado A1d en el punto (4), por el que se traza perpendicular a dc hasta cortar al lado ad en el punto 4, a partir del cual, mediante una nueva paralela al eje cd se determina la proyección horizontal del punto 1. Para la proyección vertical de dicho punto utilizamos el punto 4, situado sobre ad, y lo referimos al vertical según 4` proyectándolo sobre a`d`, punto por el que pasa la horizontal que contiene a 1`. Idéntico proceso realizamos para sacar los otros vértices 2 y 3, del triángulo buscado que son respectivamente el incentro (cortes de las bisectrices interiores de los triángulos abatidos) y el baricentro (corte de medianas). 

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Números irracionales, ejercicios de aplicaciones gráficas

 

Irracionales 1

 GENERACIÓN CONCEPTUAL DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.

La generación de los diferentes tipos de números a lo largo de la historia ha surgido según se iba necesitando resolver ciertas cuestiones y /o ecuaciones matemáticas. Así cuando con los números naturales no era posible resolver la diferencia entre un minuendo y un sustraendo cuando este último era mayor que el primero hubo que generar los números enteros que incluían además de los naturales a los números negativos. (4-9 = -5) De esta forma podemos hallar el opuesto de un número cambiando si signo. El opuesto de 12 es -12.

Cuando se quería calcular el inverso de un número entero como el -5, no era posible obtener dentro de esos números el resultado 1/-5, por lo que se crearon los números racionales o fraccionarios, así como el cuerpo correspondiente de operaciones con los mismos. Por ejemplo la suma implicaba hablar de fracciones equivalentes y de la reducción de fracciones a común denominador; el producto implicaba obtener otro racional como resultado en el que el numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores. 2/3x4/5 = 2x4/3x5= 8/15.

La fracción inversa de una dada es aquella en la que se invierten los elementos de la misma así la inversa de 2/3 es 3/2. También se puede calcular el cociente de fracciones como producto de uno de los factores por el inverso del otro o multiplicando en cruz, así 2/3 : 4/5= 2x5/3x4=10/12 que simplificado dividiendo ambos números por 2 tenemos como resultado 5/6. Con estos números racionales también podemos calcular la potenciación con exponentes enteros. Así elevamos (2/3) al cuadrado tenemos que es dos al cuadrado dividido por tres al cuadrado, es decir, 4/9.

Pero la operación inversa a la potenciación no es posible en general dentro del ámbito de los números racionales. A esta opresión de llamamos radicación o extracción de raíces. Decimos que un número x es la raíz enésima de otro y cuando se cumple que x elevado a n es igual a y. Así la raíz cúbica de 27 es 3 ya que 3 elevado al cubo es 27. El problema surge cuando el radicando (elemento situado en el interior del símbolo de la raíz) no es un cuadrado perfecto. Son cuadrados perfectos 64 = 8x8; 16 = 4x4; 9 = 3x3; 121 = 11x11 etc.

Sin embargo 2 no cumple esta propiedad ya que ningún número natural elevado al cuadrado da 2 como resultado. Decimos que dos magnitudes a y b son conmensurables cuando al dividirla magnitud a entre b obtenemos un número exacto, c, llamando a ese número razón entre a y b. Si la razón fuera un valor c diríamos que la medida de d ela magnitud a es c veces expresadas en la unidad de la magnitud b. Es decir que a/b=c; luego a = cxb. La unidad de medida creada, b, puede dividirse a su vez en magnitudes conmnensurables siendo cada una un número racional de b. Los números decimales son otra representación numérica de los racionales de modo que hallamos un decimal asociado a uno racional dividiendo el numerador entre el denominador.

Existiendo en esos posibles cocientes valores decimales puros, decimales periódicos y decimales no periódicos. Existen métodos sencillos para convertir un número decimal puro o periódico en racional. Según lo anterior llamaremos magnitudes inconmensurables aquellas que no cumplen lo indicado, es decir, a y b serán inconmensurables si al dividir a entre b no da un valor racional. Si dibujamos un cuadrado de lado m y hallamos su diagonal vemos que no existe ningún número racional que multiplicado por el lado m dé como medida la longitud de la citada diagonal.

Al aplicar el teorema de Pitágoras a ese cuadrado vemos que la diagonal es raíz de dos multiplicado por el lado, por lo que ese valor de la raíz de dos representa uno de los infinitos números irracionales. En el caso del triángulo equilátero se demuestra, por el mismo teorema, que la altura es la mitad del lado multiplicado por la raíz de 3, lo mismo ocurre entre la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, que es un número 3.14159265.. que, como los anteriores, tiene infinitos decimales sin ser periódico ninguno de ellos. Se recuerda que el número decimal 2,433433433.. es periódico al igual que 2,33333… teniendo ambos infinitos decimales.

Los números correspondientes a la operación de la radicación los podemos aproximar tanto como queramos mediante un número creciente de decimales no periódicos pero observamos que nunca obtenemos al valor exacto al elevarlo al cuadrado, aunque tomásemos infinitos de decimales. A estos números les llamamos irracionales.

Todos los tipos de números descritos aquí se engloban en los llamados números reales. En resumen podemos hacer sucesivas e infinitas aproximaciones mediante números decimales aumentando el número de dichos decimales y nos iremos acercando al número irracional correspondiente pero nunca lo alcanzaremos.

El vídeo que sigue explica cómo resolver gráficamente distintos casos de representación operaciones con números irracionales.

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