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Elipse que contiene a dos puntos y es tangente y semejante a otra dada

Enunciado. Elipse que pasando por dos puntos A y B sea tangente y semejante a otra, definida mediante una pareja de diámetros conjugados.

datos ex

Fase 1. Establecemos una afinidad entre la elipse aportada y una circunferencia de diámetro coincidente con el diámetro mayor aportado de la elipse. El eje es el diámetro común y la pareja de puntos afines son X y x, siendo x el punto de la circunferencia obtenido al trazar por el centro de la elipse una perpendicular al diámetro mayor de la misma.

 Hallamos los transformados afines a y b de los puntos A y B aportados por el enunciado. Para ello hemos unido A con X mediante una recta, que corta al eje de afinidad en un punto que unimos con x mediante otra recta que corta a la paralela a la dirección de afinidad (xX) en el  punto a. El punto b, afín de B,  se halla auxiliándonos de la pareja de afines A y a.

Fase 2. Dibujamos la circunferencia que, pasando por a y b sea tangente a la circunferencia inicialmente trazada. Para ello dibujamos una auxiliar que pase por a y b y corte a la circunferencia primitiva. Hallamos el eje radical de ambas, el cual corta a la prolongación de ab en un punto, desde el que trazamos la tangente a la circunferencia  que primero se dibujó. El punto de tangencia junto con a y b determina la circunferencia tangente buscada.

Elipse que pasando por dos puntos A y B sea tangente y semejante a otra nn

Fase 3. Dibujamos el radio ov paralelo al que, en la circunferencia inicial, pasa por x. Igualmente dibujamos otro radio, oh, perpendicular a ov. Determinamos el afín H del punto h, auxiliándonos  de la pareja de puntos afines x y X.

Fase 4. Establecemos los afines de o y de v, obteniendo V y O, de modo que VO y HO son los semidiámetros  conjugados de la solución, que resultarán paralelos a los de la elipse de partida, al haber tomado en la circunferencia de la fase 4 el paralelo y el perpendicular a CX.

 

Triángulo conocidas dos alturas y el ángulo que forman

 Enunciado. Construir un triángulo conocida la medida de dos de sus alturas, Ha y Hb, y el ángulo formado por estas, que es de 60o y dibujar un triángulo semejante cuya superficie sea 2.3 veces mayor que la del triángulo obtenido.

Datos: Ha; Hb, y el ángulo de 60º formado por las mismas.

Solución. Suponemos el problema resuelto, observando que se cumple que el ángulo de las dos alturas coincide con el que forman los lados a los que son perpendiculares. Esto se debe a la propiedad que dice que ángulos de lados perpendiculares son iguales. Véase la figura explicativa de dicha propiedad.

p1

Por tanto, vemos que el ángulo formado por los lados a y b es de 60o. Esto nos lleva a dibujar, con este ángulo, dos rectas como las XY y la WZ, concurrentes en C, en las que se situarán los citados lados del triángulo.

Trazaremos por un punto cualquiera de cada una de ellas una perpendicular, llevándose las alturas, Ha y Hb. Por los extremos de estos segmentos trazaremos paralelas a las rectas iniciales, obteniendo los vértices A y B, que unidos con C determinan el triángulo buscado.

p1-S

  La segunda parte la dejamos para que la dibuje el alumno al que orientamos diciendo que se resuelve basándonos en la propiedad que dice que la relación de las áreas de dos figuras semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza. Por ello habrá que multiplicar la medida de los lados del triángulo obtenido por la raíz de 2,3.

Para hallar gráficamente la raíz de 2,3 aplicamos, por ejemplo, el teorema de la altura, situando en una recta un segmento de 2,3 cm y, a continuación uno de 1 cm. Dibujamos la circunferencia de diámetro la suma de 3,3 y levantamos una perpendicular por el extremo común de los dos segmentos, hasta obtener una semicuerda que representa un segmento de medida igual a la raíz de 2,3. Aplicando el teorema de Thales sacamos la medida de los lados del triángulo semejante al original, que tendrá un área 2,3 veces mayor que el primitivo. 

 

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Sección de tronco de pirámide hueco

 ENUNCIADO. Hallar la sección plana producida en el tronco de pirámide aportado en perspectiva, sabiendo que es hueco mediante un taladro con forma troncopiramidal. El plano sección está definido por dos rectas R y S, paralelas y horizontales, situadas en las caras respectivas superior e inferior del cuerpo a cortar.

El plano sección tiene a la rectas S por traza con el plano de la base, y a la recta R por intersección con el plano de la base superior. Prolongando los lados de los cuadrados de la base de ambas pirámides obtenemos, en su corte con la traza S del plano, puntos que, unidos con los de corte de la recta R con las bases superiores, establecen la acción del plano sección sobre cada cara lateral de cada pirámide.

Obsérvese que el taladro del cuerpo se puede considerar como otra pirámide. 

En la parte derecha de la figura hemos representando el cuerpo resultante después de ser cortado por el plano R-S.

Se propone al alumno la realización de las proyecciones diédricas del cuerpo resultante.

seccin tronco de piramide-4

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Lugares geométricos de esferas

 Enunciado. Sistema diédrico. Se parte de una circunferencia situada en un plano proyectante Q-Q` de centro en el punto c-c` y diámetro, D, conocido.  Se pide hallar el punto, o-o`, que equidiste de todos los puntos de la citada circunferencia y de un punto, e-e`, igualmente aportado.

Lugares geomtricos de esferas datos

Solución. Inciso. Aplicación de lugares geométricos de esferas.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que gozan de una determinada propiedad. Existe un procedimiento geométrico de resolución de problemas basado en la, llamada, teoría de lugares geométricos, de gran utilidad a la hora de resolver problemas en los que se quiere determinar un elemento sometido a varias especificaciones.

En general cuando en geometría se busca un elemento que deba cumplir dos condiciones, se traduce cada condición a la pertenencia a un lugar geométrico. El cumplimiento simultáneo de ambas condiciones se produce en la intersección de ambos lugares geométricos.

Aplicando lo anterior, sabemos que todos los puntos que equidistan de los de una circunferencia están en una recta R, perpendicular a su plano, trazada por el centro C de dicha circunferencia.

lugares geometricos 1

 

 Para que el punto buscado, además, equidiste del punto E y de cualquiera de los de la circunferencia dada, se debe cumplir que ha de situarse en un plano perpendicular al segmento definido por E y cualquier punto, X, de la circunferencia, siempre que ese plano pase por el punto medio, M, del segmento EX.

Obsérvese que el punto, O, obtenido es el centro de una esfera que contiene en su superficie al punto E y a la circunferencia dada. El radio de esa esfera es la longitud del segmento OX = OE.

Por tanto si el punto buscado, O, tiene que cumplir ambas condiciones deberá pertenecer simultáneamente a ambos lugares geométricos, es decir,  en la intersección de la recta R con el plano P descritos. 

 

 

 

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Evolvente de círculo y helizoide

Evolvente de círculo y heliziode desarrollable. 

La evolvente de círculo es una curva que se ha empleado como forma del perfil de diente de los engranajes rectos de las ruedas dentadas, en sustitución de los perfiles de curvas cicloidales de dichas ruedas que en la antigüedad se empleaba. El trazado de la evolvente de círculo se realiza rectificando la circunferencia de base. Una construcción gráfica aproximada de dicha rectificación consiste en inscribir en la circunferencia un triángulo equilátero y un cuadrado, siendo la suma de las medidas de ambos lados la longitud de la semicircunferencia, es decir: 3,14 por R; el doble de la suma de estos lados representa la longitud total de la circunferencia. Se divide en partes iguales, tanto el segmento de la rectificación como la circunferencia. Nosotros sólo hemos dibujado la mitad de la evolvente de círculo. Se trazan tangentes en los puntos de la circunferencia obtenidos en la división realizada. Llevamos en cada tangente una porción del segmento rectificado. Nosotros hemos obtenido 16 partes iguales, y llevamos en la primera tangente 1:16 de la longitud de la circunferencia; en la segunda tangente 2:16 partes de dicha longitud, etc. Se obtienen una serie de puntos que, unidos, determina la evolvente.

Por otra parte vemos que la evolvente de círculo sale de trazar tangentes a una hélice cilíndrica en los distintos puntos de la misma generándose una superficie cuyas generatrices son las citadas tangentes. La superficie así obtenida se llama helicoide o helizoide desarrollable. Si unimos las trazas horizontales (intersecciones con el plano horizontal) de todas las generatrices se obtiene una curva, que es la evolvente de círculo. Esta superficie tiene, entre otras propiedades, la particularidad de que todas sus generatrices forman el mismo ángulo con el plano horizontal donde se sitúa la base del cilindro que hace las veces de núcleo de la hélice.  

Si se traza, en cada punto de la hélice cilíndrica, la recta generatriz tangente a dicha hélice y la tangente a la base del cilindro se cumple que la traza horizontal de la misma dista del punto de tangencia con la base del cilindro (núcleo de la hélice) un segmento de igual longitud que el tramo curvo del arco correspondiente de dicha base. Se aprecia que esto coincide con la definición de la evolvente de círculo, lo que nos permite a establecer que la traza horizontal del helicoide es la evolvente de la base del núcleo.

helizoide conjunto

 

 

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